“Limit dan Kontinuitas Fungsi”

Kali ini kita akan membahas tentang limit dan kontinuitas fungsi:

-Limit fungsi
Limit suatu fungsi merupakan salah satu konsep mendasar dalam kalkulus dan analisis, yang melihat tentang perilaku suatu fungsi mendekati suatu titik tertentu.

A. Konsep Limit Fungsi 

Bila kita mempunyai suatu fungsi peubah bebasnya menuju suatu titik tertentu di sumbu x, (artinya jarak antara peubah bebas dan titik tertentu tersebut semakin lama semakin mengecil tapi tidak harus sama dengan nol), apakah peubah tak bebasnya  juga menuju suatu nilai tertentu di sumbu y. 

B. Sifat – sifat Limit Fungsi

Andaikan k suatu konstanta serta nilai  dan ada, maka:

1. Limit Jumlah

2. Limit Selisih

3. Untuk setiap bilangan real k,

4. Limit Pembagian

5. Limit dari 

Jika n adalah bilangan bulat positif: 

6. Limit dari 

Jika n ³ 2 dan bilangan bulat: 

7. Untuk setiap fungsi polinomial 

8. Teorema Apit

Jika untuk setiap x dalam interval buka yang memuat c ( keculai mungkin di c sendiri), dan  maka 

Latihan

Tentukan nilai dari limit berikut

a. 

b. 

c. 

d. 

C. Limit Fungsi

Definisi

Jika sebuah fungsi yang terdefinisi pada suatu selang buka yang memuat a, kecuali di a sendiri. Maka kita katakan bahwa kimit f(x) untuk x mendekati a adalah L, dan ditulis 

Jika untuk setiap bilangan e > 0 terdapat d > 0 sedemikian sehingga  bila 

Misalkan diketahui suatu fungsi 

Contoh: 

Buktikan bahwa

a. 

b. 

c. 

Penyelesaian:

a. Analisa

Akan dibuktikan bahwa untuk sembarang bilangan positif kecil e, bila  padahal , dan diinginkan . Karena diketahui , maka , sehingga kita dapat memilih 

Bukti 

Diberikan sebarang e > 0, pilih , sehingga bila  maka 

Karena  bila , jadi terbukti bahwa 

b. Analisa 

Akan dibuktikan bahwa untuk sembarang bilangan positif kecil e,bila . Padahal  karena , maka  Sehingga dapat dipilih d = e.

Bukti 

Diberikan sembarang e > 0, pilih d = e, sehingga bila , maka 

. Karena bila , maka terbukti .

c. Analisa

Akan dibuktikan bahwa untuk sembarang bilangan positif kecil e, bila . Padahal . Menurut definisi x→-2 berarti bahwa x mendekati -2 sedekat mungkin, tanpa harus sama dengan 2. Sehingga masuk akal jika jarak antara xdan -2 kurang dari 1, yaitu d £ 1. Jadi 

Sementara , 

Sehingga,

Bukti

Diberikan sembarang e > 0, pilih d £ min , sehingga jika , maka 

Definisi (Limit Kiri)

jika sedemikian sehingga 

Definisi (Limit Kanan)

jika sedemikian sehingga 

Teorema

Contoh

Tentukan nilai dari 

Penyelesaian

Menurut definisi 

, sedangkan . Karena , maka tidak ada.

Contoh:

Jika , tentukan nilai dari 

Penyelesaian

. Karena , maka tidak ada.

Latihan

1. 

Dari grafik berikut ini, tentukan apakah ada

a.  

2. Tentukan limit berikut ini, jika ada:

a. 

b. 

3. Adakah bilangan a sedemikian sehingga ada ? jika ada tentukan nilai a dan limitnya. 

4. Tentukan limit kiri dan limit kanan fungsi berikut ini di titik c yang ditentukan, kemudian tentukan apakah limit fungsi di titik tersebut ada.

a. , c = 0

b. , c = 3 

c. , c = 1

d. , c = 1

e. , c = 1

f. , c = 1

5. Diketahu fungsi , tentukan 

a. ​c.  ​e.   

b. ​d.   ​f.   

6. Tentukan

a. ​b.  

D. Limit Fungsi Trigonometri

Dengan menggunakan teorema apit diperoleh 

Dari hasil ini diperoleh rumus limit fungsi trigonometri

a. ​c.   ​e.  

b. ​d. ​f.  

Latihan Soal.

1. ​3.   

2. ​4.    

E. Limit Tak Hingga

Definisi (Limit Tak Hingga)

Misalkan f sebuah fungsi yang terdefinisi pada selang buka yang memuat a, kecuali mungkin pada a sendiri, maka , berarti bahwa 

Mislakan f sebuah fungsi yang terdefinisi pada selang buka yang memuat a, kecuali mungkin pada a sendiri, maka berarti bahwa

Latihan

Tentukan 

1. =

2. 

a. Limit di Tak Hingga 

- Misalkan fungsi f terdefinisi pada . Limit fungsi f untuk membesar tanpa batas adalah L ditulis  jika 

- Misalkan fungsi f terdefinisi pada . Limit fungsi f untuk mengecil tanpa batas adalah L ditulis jika 

Latihan

Tentukanlah

1. ​​

2. 

b. Limit Tak Hingga di Tak Hingga

Limit tak hingga di tak hingga adalah kasusdi mana bila 

Definisi

- jika 

- jika 

- jika 

- jika 

Latihan

Tentukan 

1. 

2. 

3. 

c. Bentuk-bentuk Tak Tentu Limit Fungsi

Perhatikan limit fungsi trigonometri , dimana limit pembilang dan limit penyebutnya nol. Bentuk demikian disebut bentuk tak tentu. Bentuk-bentuk tak tentu yang lain adalah  bentuk tak tentu yang akan dibahas disini adalah  bentuk tak tentu yang lain akan dibahas setelah pembahasan fungsi berpangkat fungsi dan logaritma natural.

Latihan 

Tentukan.

a. 

b. 

c. 

d. 

F. Kekontinuan Fungsi

a. Kekontinuan Fungsi di Suatu Titik

Definisi

Misalkan y = f(x) adalah fungsi yang terdefinisi pada interval buka yang memuat c. Jika:

1. ada

2. Nilai f(x) untuk x = a ada , atau f(c) ada.

3. 

Maka dikatakan fungsi itu kontinu di x = c.

Jika salah satu dari ketiga syarat tersebut tidak dipenuhi, maka dikatakan fungsi itu diskontinu di x = a. 

Definisi Formal 

Fungsi f dikatakan kontinu di titik c di daerah asalanya jika sedemikian sehingga 

Sifat-sifat kekontinuan fungsi di satu titik

- Jika f dan g kontinu di c, maka f + g, f – g dan f . g juga kontinu di c

- Jika f dan g kontinu di c dengan g(c) tidak sama dengan 0, maka f/g juga kontinu di c

- Jika f kontinu di g(c) dan g kontinu di c, amka fungsi komposisi f(g(x)) juga kontinu di c. 

Contoh.

Tentukan kontinuitas fungsi berikut di x = 3

1. di x = 3

2. di  x = 3

Penyelesaian:

1. Syarat:

- 

- 

- 

Jadi f(x) kontinu di x = 3

2. Syarat:

- 

- 

- 

Jadi f(x) diskontinu di x = 0

b. Kekontinuan Fungsi Pada Suatu Interval

Definisi

- Sebuah fungsi f kontinu pada interval buka (a,b) jika fungsi itu kontinu pada setiap bilangan c Î (a,b) 

- Sebuah fungsi f kontinu pada interval [a,b) jika fungsi itu kontinu pada (a,b) dan 

- Sebuah fungsi f kontinu pada interval (a,b] jika fungsi itu kontinu pada (a,b) dan 

- Sebuah fungsi f kontinu pada interval [a,b] jika fungsi itu kontinu pada (a,b) dan 

Contoh. 

Apakah fungsi kontinu pada interval [-1,1]?

Penyelesaian:

- Bila -1 < a < 1, 

- Bila a = -1, 

- Bila a = 1, 

Jadi kontinu pada interval [-1,1].

c. Sifat-sifat kekontinuan fungsi di suatu interval

- Jika fungsi f kontinu pada [a,b], maka f terbatas pada [a,b]

- Teorema Nilai Antara (TNA)

Jika fungsi f kontinu pada [a,b], dan k terletak antara f(a) dan f(b) terdapat c Î [a,b] sedemikian sehingga f(c) = k.

- Akibat TNA

Jika f kontinu pada [a,b] dan f(a) . f(b) < 0, maka terdapat c Î [a,b] sedemikian sehingga f(c) = 0. 

Latihan 

1. Tunjukkan bahwa fungsi berikut kontinu pada interval yang ditentukan 

a. 

b. 

2. Jika f dan g keduanya fungsi kontinu dengan f(3) = 5 dan tentukan g(3) ?

3. Tentukan nilai c sehingga fungsi f dan g berikut ini kontinu di 

a. 

b. 

c. 

4. Tentukan konstanta c dan d agar fungsi berikut ini kontinu di interval tutup [0,4]

5. Tentukan konstanta p dan q, sehingga fungsi berikut ini kontinu di R

6. Tentukan nilai k sehingga fungsi f berikut ini kontinu di x = 2

Evaluasi Limit dan Kontinuitas

1. Tentukan nilai limitnya

a. 

b. 

2. Diketahui 

a. Tentukan daerah sehingga f(x) terdefinisi

b. Tentukan titik diskontinu f(x)

3. Apakah masing-masing fungsi berikut ini kontinu atau diskontinu ? jelaskan!

a. Suhu pada lokasi tertentu sebagai fungsi waktu

b. Tarif taksi sebagai fungsi jarak yang ditempuh

c. Upah karyawan sebagai fungsi dari waktu

d. Denyut jantung manusia setiap waktu 

e. Curah hujan yang diukur pada stasiun cuaca.

4. Sebuah tungku dipergunakan dalam penelitian untuk menentukan bagaimana cara terbaik untuk membuat kristal yang dipergunakan dalam komponen elektronik pesawat ulang-alik. Untuk pertumbuhan kristal yang baik, suhu harus dikendalikan secara akurat dengan menyesuaikan daya masukan. Misalkan hubungan dirumuskan dengan: , dimana T = suhu (°Celcius), w = daya masukan (Watt), tentukan: 

a. Berapa daya yang diperlukan untuk menjaga suhu pada 200 °C, berapa rentang daya yang dipergunakan untuk daya masukan?

a. 

b. 

c. 

Penyelesaian:

a. Analisa

Akan dibuktikan bahwa untuk sembarang bilangan positif kecil e, bila  padahal , dan diinginkan . Karena diketahui , maka , sehingga kita dapat memilih 

Bukti 

Diberikan sebarang e > 0, pilih , sehingga bila  maka 

Karena  bila , jadi terbukti bahwa 

b. Analisa 

Akan dibuktikan bahwa untuk sembarang bilangan positif kecil e,bila . Padahal  karena , maka  Sehingga dapat dipilih d = e.

Bukti 

Diberikan sembarang e > 0, pilih d = e, sehingga bila , maka 

. Karena bila , maka terbukti .

c. Analisa

Akan dibuktikan bahwa untuk sembarang bilangan positif kecil e, bila . Padahal . Menurut definisi x→-2 berarti bahwa x mendekati -2 sedekat mungkin, tanpa harus sama dengan 2. Sehingga masuk akal jika jarak antara xdan -2 kurang dari 1, yaitu d £ 1. Jadi 

Sementara , 

Sehingga,

Bukti

Diberikan sembarang e > 0, pilih d £ min , sehingga jika , maka 

Definisi (Limit Kiri)

jika sedemikian sehingga 

Definisi (Limit Kanan)

jika sedemikian sehingga 

Teorema

Contoh

Tentukan nilai dari 

Penyelesaian

Menurut definisi 

, sedangkan . Karena , maka tidak ada.

Contoh:

Jika , tentukan nilai dari 

Penyelesaian

. Karena , maka tidak ada.

Latihan

1. 

Dari grafik berikut ini, tentukan apakah ada

a.  

2. Tentukan limit berikut ini, jika ada:

a. 

b. 

3. Adakah bilangan a sedemikian sehingga ada ? jika ada tentukan nilai a dan limitnya. 

4. Tentukan limit kiri dan limit kanan fungsi berikut ini di titik c yang ditentukan, kemudian tentukan apakah limit fungsi di titik tersebut ada.

a. , c = 0

b. , c = 3 

c. , c = 1

d. , c = 1

e. , c = 1

f. , c = 1

5. Diketahu fungsi , tentukan 

a. ​c.  ​e.   

b. ​d.   ​f.   

6. Tentukan

a. ​b.  

D. Limit Fungsi Trigonometri

Dengan menggunakan teorema apit diperoleh 

Dari hasil ini diperoleh rumus limit fungsi trigonometri

a. ​c.   ​e.  

b. ​d. ​f.  

Latihan Soal.

1. ​3.   

2. ​4.    

E. Limit Tak Hingga

Definisi (Limit Tak Hingga)

Misalkan f sebuah fungsi yang terdefinisi pada selang buka yang memuat a, kecuali mungkin pada a sendiri, maka , berarti bahwa 

Mislakan f sebuah fungsi yang terdefinisi pada selang buka yang memuat a, kecuali mungkin pada a sendiri, maka berarti bahwa

Latihan

Tentukan 

1. =

2. 

a. Limit di Tak Hingga 

- Misalkan fungsi f terdefinisi pada . Limit fungsi f untuk membesar tanpa batas adalah L ditulis  jika 

- Misalkan fungsi f terdefinisi pada . Limit fungsi f untuk mengecil tanpa batas adalah L ditulis jika 

Latihan

Tentukanlah

1. ​​

2. 

b. Limit Tak Hingga di Tak Hingga

Limit tak hingga di tak hingga adalah kasusdi mana bila 

Definisi

- jika 

- jika 

- jika 

- jika 

Latihan

Tentukan 

1. 

2. 

3. 

c. Bentuk-bentuk Tak Tentu Limit Fungsi

Perhatikan limit fungsi trigonometri , dimana limit pembilang dan limit penyebutnya nol. Bentuk demikian disebut bentuk tak tentu. Bentuk-bentuk tak tentu yang lain adalah  bentuk tak tentu yang akan dibahas disini adalah  bentuk tak tentu yang lain akan dibahas setelah pembahasan fungsi berpangkat fungsi dan logaritma natural.

Latihan 

Tentukan.

a. 

b. 

c. 

d. 

F. Kekontinuan Fungsi

a. Kekontinuan Fungsi di Suatu Titik

Definisi

Misalkan y = f(x) adalah fungsi yang terdefinisi pada interval buka yang memuat c. Jika:

1. ada

2. Nilai f(x) untuk x = a ada , atau f(c) ada.

3. 

Maka dikatakan fungsi itu kontinu di x = c.

Jika salah satu dari ketiga syarat tersebut tidak dipenuhi, maka dikatakan fungsi itu diskontinu di x = a. 

Definisi Formal 

Fungsi f dikatakan kontinu di titik c di daerah asalanya jika sedemikian sehingga 

Sifat-sifat kekontinuan fungsi di satu titik

- Jika f dan g kontinu di c, maka f + g, f – g dan f . g juga kontinu di c

- Jika f dan g kontinu di c dengan g(c) tidak sama dengan 0, maka f/g juga kontinu di c

- Jika f kontinu di g(c) dan g kontinu di c, amka fungsi komposisi f(g(x)) juga kontinu di c. 

Contoh.

Tentukan kontinuitas fungsi berikut di x = 3

1. di x = 3

2. di  x = 3

Penyelesaian:

1. Syarat:

- 

- 

- 

Jadi f(x) kontinu di x = 3

2. Syarat:

- 

- 

- 

Jadi f(x) diskontinu di x = 0

b. Kekontinuan Fungsi Pada Suatu Interval

Definisi

- Sebuah fungsi f kontinu pada interval buka (a,b) jika fungsi itu kontinu pada setiap bilangan c Î (a,b) 

- Sebuah fungsi f kontinu pada interval [a,b) jika fungsi itu kontinu pada (a,b) dan 

- Sebuah fungsi f kontinu pada interval (a,b] jika fungsi itu kontinu pada (a,b) dan 

- Sebuah fungsi f kontinu pada interval [a,b] jika fungsi itu kontinu pada (a,b) dan 

Contoh. 

Apakah fungsi kontinu pada interval [-1,1]?

Penyelesaian:

- Bila -1 < a < 1, 

- Bila a = -1, 

- Bila a = 1, 

Jadi kontinu pada interval [-1,1].

c. Sifat-sifat kekontinuan fungsi di suatu interval

- Jika fungsi f kontinu pada [a,b], maka f terbatas pada [a,b]

- Teorema Nilai Antara (TNA)

Jika fungsi f kontinu pada [a,b], dan k terletak antara f(a) dan f(b) terdapat c Î [a,b] sedemikian sehingga f(c) = k.

- Akibat TNA

Jika f kontinu pada [a,b] dan f(a) . f(b) < 0, maka terdapat c Î [a,b] sedemikian sehingga f(c) = 0. 

Latihan 

1. Tunjukkan bahwa fungsi berikut kontinu pada interval yang ditentukan 

a. 

b. 

2. Jika f dan g keduanya fungsi kontinu dengan f(3) = 5 dan tentukan g(3) ?

3. Tentukan nilai c sehingga fungsi f dan g berikut ini kontinu di 

a. 

b. 

c. 

4. Tentukan konstanta c dan d agar fungsi berikut ini kontinu di interval tutup [0,4]

5. Tentukan konstanta p dan q, sehingga fungsi berikut ini kontinu di R

6. Tentukan nilai k sehingga fungsi f berikut ini kontinu di x = 2

Evaluasi Limit dan Kontinuitas

1. Tentukan nilai limitnya

a. 

b. 

2. Diketahui 

a. Tentukan daerah sehingga f(x) terdefinisi

b. Tentukan titik diskontinu f(x)

3. Apakah masing-masing fungsi berikut ini kontinu atau diskontinu ? jelaskan!

a. Suhu pada lokasi tertentu sebagai fungsi waktu

b. Tarif taksi sebagai fungsi jarak yang ditempuh

c. Upah karyawan sebagai fungsi dari waktu

d. Denyut jantung manusia setiap waktu 

e. Curah hujan yang diukur pada stasiun cuaca.

4. Sebuah tungku dipergunakan dalam penelitian untuk menentukan bagaimana cara terbaik untuk membuat kristal yang dipergunakan dalam komponen elektronik pesawat ulang-alik. Untuk pertumbuhan kristal yang baik, suhu harus dikendalikan secara akurat dengan menyesuaikan daya masukan. Misalkan hubungan dirumuskan dengan: , dimana T = suhu (°Celcius), w = daya masukan (Watt), tentukan: 

a. Berapa daya yang diperlukan untuk menjaga suhu pada 200 °C, berapa rentang daya yang dipergunakan untuk daya masukan?

1